Tappa formen

Postad 2016-08-07 av Karl Pettersson. Taggar: logik

I förra inlägget skrev jag om Solomon Fefermans idéer om logikens avgränsning och refererade då till MacFarlane (2015), som ger en allmän översikt över detta problemområde, som delvis bygger på artikelförfattarens avhandling (MacFarlane 2000). Frågeställningen i denna handlar om hur det skall förstås att logiken är formell, att den handlar om slutledningar som är giltiga genom sin form – en karakteristik som brukar ges till nybörjarstudenter i logik, för att ge dem ett begrepp om vad som skiljer logiskt giltiga slutledningar från rimliga slutledningar i allmänhet. MacFarlane gör tre olika preciseringar av idén om logiken som formell:

  1. Logiken ger normer för tänkande eller användning av begrepp (hävdanden, slutledningar, omdömen etc.) som sådant, oavsett vad det handlar om.
  2. Logikens normer är okänsliga för olika individers identitet. Om en slutledning är logiskt giltig förblir den giltig även om de individer som förekommer i den byts ut.
  3. Logiken abstraherar totalt bort innehållet i alla begrepp och tillför därför inte i sig någon kunskap om världen.

Enligt MacFarlane har idén att logiken är formell sina rötter i Kants filosofi: han tänkte sig att den är formell i alla tre bemärkelserna. Gottlob Frege är den moderna symboliska logikens främste grundläggare. Han uppfattade logiken som formell i den första bemärkelsen men inte i de två andra. En av hans idéer är att matematiken kan härledas ur rent logiska principer: det innebär att de logiska lagarna är kapabla att skilja mellan olika objekt (olika tal). Dessutom har logiken sin egen begreppsapparat, som kan göras till föremål för resonemang som tillför kunskap. De så kallade logiska positivisterna under mellankrigstiden återgick emellertid till en uppfattning om logiken som formell i den tredje bemärkelsen: de tenderade att betrakta logiska sanningar som något som etablerats genom konvention, att vi bestämt oss för att använda vissa uttryck på ett visst sätt. Denna uppfattning har i sin tur fallit i vanrykte efter kritik från bl.a. Quine. Många moderna filosofer har antingen avvisat idén om en skarp avgränsning av logiken eller tagit fasta på bemärkelsen 2, som de tänkt sig kan ges en matematiskt precis formulering i termer av invarians under permutationer som kriterium för att höra hemma i logiken, som jag diskuterade i förra inlägget.

MacFarlane gör en generalisering av detta kriterium och argumenterar för att det inte är så lätt att separera från de äldre idéerna. Han definierar kriteriet med hjälp av typteori. I den enklaste versionen, som är anpassad för vanlig predikatlogik, finns två grundläggande typer, objekt eller individer \(\mathrm{O}\), och sanningsvärden \(\mathrm{V}\), i vilken ingår \(\text{Sant}\) och \(\text{Falskt}\). Utifrån dessa kan komplexa typer definieras. De grundläggande definitionerna görs på det MacFarlane kallar den presemantiska nivån, där vi ägnar oss åt semantiska värden, utan att koppla dem till språkliga uttryck. Exempelvis är predikat, på denna nivå, av typen \(\mathrm{O}\rightarrow\mathrm{V}\): de är funktioner som tar en individ och ger ett sanningsvärde. På detta sätt kan predikatet född 1973 uppfattas som en funktion \(f\), som ger \(\text{Sant}\) för individer födda 1973 och \(\text{Falskt}\) för alla andra. En permutation \(\sigma\)\(\mathrm{O}\) innebär att individerna byter plats med varandra, som beskrevs i förra inlägget. Denna ger för varje typ \(Z\) upphov till en transformation \(\sigma^Z\). För \(Z=\mathrm{O}\) är den permutationen själv: \(\sigma^Z(w)=\sigma(w)\) för alla individer \(w\). Sanningsvärdena lämnas i fred: för \(Z=\mathrm{O}\) gäller \(\sigma^Z(w)=w\) om \(w\) är \(\text{Sant}\) eller \(\text{Falskt}\). För en komplex typ \(Z=X\rightarrow Y\) gäller för alla \(w\) i \(Z\): \(\sigma^Z(w)=\sigma^Y\circ w\circ(\sigma^X)^{-1}\).

För ett enkelt exempel på hur det fungerar, låt Hanna och Tage vara två individer, födda 1973 och 1928, och låt \(\sigma\) vara en permutation där de byter plats med varandra, som i exemplet i förra inlägget. I så fall gäller \(f(\text{Hanna})=\text{Sant}\), men samtidigt \(f\circ\sigma^{-1}(\text{Hanna})=f(\text{Tage})\), vilket ger \(\text{Falskt}\). Alltså ger \(f\) och \(f\circ\sigma^{-1}\) olika värden för samma argument, och vi har därmed ett motexempel mot att \(f\) skulle vara invariant under alla permutationer, vilket i sin tur – enligt invarianskriteriet – innebär att \(f\) inte är logisk. De värden som brukar betraktas som logiska i vanlig logik, som sanningsfunktioner och kvantifikatorer, faller däremot ut som invarianta. MacFarlane visar hur dessa semantiska värden kan kopplas till språkliga uttryck, för att definiera vad som skall räknas som logiska konstanter.

Så långt verkar kriteriet klart och precist. Men MacFarlane menar att när det stavas ut i typer som han gjort kan det ligga nära till hands att vi frågar oss varför vi bara skall bry oss om permutationer på individtypen och inte på t.ex. sanningsvärdena. Det kan verka självklart när det gäller vanlig logik med bara två sanningsvärden, men det är kanske inte så självklart om vi vill använda samma teoretiska ramverk för flervärdig logik med flera sanningsvärden eller modallogik. MacFarlane utarbetar ett ändrat kriterium, som dels medger fler grundläggande typer än \(\mathrm{O}\) och \(\mathrm{V}\), dels tillåter permutation på alla grundläggande typer men bara kräver invarians under sådana permutationer som bevarar den intrinsikala strukturen på en typ. Men vad menas med intrinsikal struktur? Enligt MacFarlane är det den struktur som behövs för att vi skall redogöra för hur språkliga satser kan hävdas och förekomma i slutledningar, vilket han kallar postsemantik.

Om vi inte skiljde mellan \(\text{Sant}\) och \(\text{Falskt}\) skulle vi inte kunna förklara hur vissa satser, men inte andra, kan hävdas eller sägas följa ur andra satser utan lögnaktighet. Därför hör de till den intrinsikala strukturen, och permutationer på dem utgör inga motexempel mot t.ex.
sanningsfunktioner som logiska. Inom så kallad modallogik används operatorer av typen \(\Box(p)\). De tolkas som att ett påstående \(p\) är nödvändigt sant, vilket i den sorts semantik som normalt används innebär att \(p\) är sant i alla tillgängliga möjliga världar. Någon struktur på de möjliga världarna är dock inte nödvändig för postsemantiken enligt MacFarlane. Nödvändighetsoperatorer som använder en sådan struktur (alla meningsfulla operatorer utom den i systemet S5 där alla världar alltid är tillgängliga) är därmed känsliga för permutationer som inte hotar den intrinsikala strukturen, och därför faller de utanför logiken.

Slutsatsen av allt detta är att invarianskriteriet, som utlovade en matematiskt precis avgränsning av logiken till skillnad från de äldre och dunklare idéerna, förutsätter en uppfattning om vad som skall räknas till normer för tänkandet som sådant, den första preciseringen av formalitet: utan en sådan går det inte att avgöra för vilka permutationer som invariansen är relevant. Som Feferman (1999) hävdar är det kanske också till stor del en sådan uppfattning om logiken som gör det intressant att ställa sig frågan vad som hör till den, då det kan bidra till fördjupad förståelse av hur vårt tänkande fungerar. Vi som intresserar oss för t.ex. deontisk logik (som handlar om relationer mellan normutsagor med bör och får och ofta studeras med modallogiska system) kommer inte att sluta med det för att den visar sig falla utanför logiken enligt ett kriterium som det nämnda, men vi kanske får medge att den inte befattar sig med regler för tänkande på den mest grundläggande nivån.

Referenser

Feferman, Solomon. 1999. ”Logic, Logics, and Logicism”. https://math.stanford.edu/~feferman/papers/logiclogicism.pdf.

MacFarlane, John. 2000. ”What Does It Mean to Say that Logic Is Formal?” http://johnmacfarlane.net/dissertation.pdf.

———. 2015. ”Logical Constants”. I The Stanford Encyclopedia of Philosophy, red. Edward N. Zalta. Fall 2015. http://plato.stanford.edu/archives/fall2015/entries/logical-constants/.