Logiska gränser

Detta år har världen blivit två Rolf Schockpristagare i logik och filosofi fattigare. Först Hilary Putnam, som jag skrev om den 17 mars, och sedan 2003 års pristagare, den amerikanske filosofen Solomon Feferman, som rapporteras ha dött i förra veckan efter ett slaganfall, 87 år gammal (British Logic Colloquium 2016). Feferman verkade främst inom logik och matematikfilosofi. För en tid sedan kom jag i kontakt med arbeten som han utfört sent i livet om ett kontroversiellt delområde inom detta fält, nämligen logikens avgränsning.

Studenter som läser kurser i logik får lära sig att det är läran om korrekt tänkande, riktiga slutledningar eller liknande. Denna karakteristik är dock ganska vag: teorier om presidentval eller krusbär är t.ex. inte logik, även om de anger regler för vilka slutsatser som är berättigade inom dessa områden. Filosofer har gjort många försök till en mer precis avgränsning, fast inget har blivit allmänt accepterat (MacFarlane 2015). Omtvistade gränsfall handlar bl.a. om huruvida olika områden inom matematiken skall räknas till logiken. Det som logikstudenter brukar få lära sig är första ordningens predikatlogik, som innehåller variabler och konstanter som kan stå för individer, symboler för predikat och relationer mellan individer och för funktioner, konnektiv som \(\neg,\wedge,\vee,\rightarrow\), som används för att uttrycka sanningsfunktionerna inte, och, eller och om och kvantifikatorerna \(\forall\) och \(\exists\), med innebörden för alla individer och för minst en individ. Ofta definieras också en speciell relation \(=\), identisk med.

En typ av idéer om vad som kännetecknar logiken handlar om att den är ämnesneutral: den handlar om den mest generella typen av slutledningar, som är giltiga oavsett vad för slags individer ett resonemang handlar om. Alfred Tarski och senare tänkare har utarbetat mer precisa formuleringar av dessa tankar i termer av invarians under permutationer. Den semantik som normalt används för predikatlogik bygger på att det finns en viss domän av individer. Anta att vi har en enkel domän med tre individer: Astrid, född 1907, Tage, född 1928, och Hanna, född 1973. Egenskaper och relationer definieras utifrån de individer för vilka de gäller. I exemplet kunde egenskapen \(F\), som kan tolkas som född 1973 (eller född efter 1950), identifieras med mängden \(\{\text{Hanna}\}\). Relationen \(O\), som kan tolkas som äldre än, kunde identifieras med mängden av par: \[\{\langle \text{Astrid},\text{Tage}\rangle,\langle\text{Astrid},\text{Hanna}\rangle, \langle\text{Tage},\text{Hanna}\rangle\}\] En permutation av en mängd individer innebär att varje individ mappas till precis en individ i mängden (som kan, men inte behöver vara, en annan individ), t.ex.:

\[ \begin{align*} \text{Astrid} &\Rightarrow \text{Astrid} \\ \text{Tage} &\Rightarrow \text{Hanna} \\ \text{Hanna} &\Rightarrow \text{Tage} \\ \end{align*} \] Tanken är att logiska uttryck utmärks av att de inte förändrar sin innebörd för någon permutation på någon domän. Egenskapen \(F\) och relationen \(O\) förändras under permutationen i exemplet: de får innebörderna \(\{\text{Tage}\}\) och: \[\{\langle\text{Astrid},\text{Tage}\rangle,\langle\text{Astrid},\text{Hanna}\rangle, \langle\text{Hanna},\text{Tage}\rangle\}\]

Därmed kan de inte vara logiska. Däremot är relationen \(=\) logisk. Den gäller mellan varje individ och individen själv, och förblir därmed densamma oavsett hur individerna kastas om. Som diskuteras av MacFarlane (2015) kan idén generaliseras till konnektiv och kvantifikatorer: de kan ses som funktioner som tar det semantiska värdet av en formel, t.ex. \(F(x)\) för \(x\) är född 1973 (eller flera formler, för flerställiga konnektiv som \(\vee,\wedge,\rightarrow\)), och ger värdet av en annan formel, t.ex. \(\exists x F(x)\), minst en individ är född 1973. De ses som invarianta under en permutation om permutationen på deras värde är detsamma som värdet av funktionen på permutationen av deras argument. \(\exists\) är invariant på detta sätt. Om permutationen gör att egenskapen \(F\) ändras till egenskapen \(G\), född 1928, kommer vi när vi tillämpar \(\exists\) på värdet av \(G(x)\) att få ut värdet av \(\exists x G(x)\). Det är samma sak som om vi byter ut Hanna mot Tage i värdet av \(\exists x F(x)\). Kvantifikatorn minst en individ född efter 1950 är däremot inte invariant: det gäller att minst en individ född efter 1950 är \(F\), men uppenbarligen inte att minst en individ född efter 1950 är \(G\). Ger vi denna kvantifikator värdet av \(G(x)\) får vi ett tomt resultat.

Men det som räknas till logiken med det ovan beskrivna kriteriet inkluderar inte bara identitetsrelationen och kvantifikatorerna och konnektiven i första ordningens logik, utan även en del annat som inte brukar beröras i grundläggande kurser i logik. Detta inkluderar kvantifikatorer av andra ordningen (som kvantifierar över egenskaper snarare än individer, vilket kan användas för att formalisera vissa påståenden inom både matematik och vardagsspråk, som Stefan har alla en god statsministers egenskaper) och högre ordningar. Det inkluderar även så kallade kardinalitetskvantifikatorer, av typen det finns minst två, det finns precis 100, det finns oändligt många.

Feferman (1999) argumenterar bl.a. för att det är tveksamt om alla dessa matematiska begrepp hör hemma i logiken och föreslår ett strängare kriterium. Det bygger på att individerna i en domän mappas till en andra domän, där flera individer i den första domänen kan mappas till en individ i den andra. Utifrån detta definierar Feferman invarianskriterier som innebär att både identitetsrelationen och kvantifikatorerna utöver \(\forall,\exists\) inte är invarianta och alltså faller utanför logiken.

En oklarhet både när det gäller permutationskriteriet och Fefermans kriterium är vilka domäner som är relevanta. Är det alla domäner som innehåller individer som existerar i vår värld? I så fall kommer det att hänga på vilka individer som råkar finnas i vår värld vilka uttryck som räknas som logiska. Om kvantifikatorn \(\forall\) är logisk, vilket är okontroversiellt, och det inte finns enhörningar skulle en kvantifikator för alla som inte är enhörningar också vara logisk. Vissa filosofer, som Gila Sher, tycks acceptera detta. Annars kan det vara frestande att inkludera alla domäner som innehåller någon möjlig individ. Som diskuteras av MacFarlane (2015) medför det emellertid nya problem. En av poängerna med permutationskriteriet har också, i alla fall för tänkare som Tarski, varit att ge en matematiskt precis avgränsning av logiken som inte är beroende av sådana begrepp som möjlig, begreppsligt sann och liknande, som i en del filosofiska kretsar setts som suspekta.

Referenser

Webbplatsen drivs av Karl Pettersson och har genererats med Hakyll. Källkod. Kakor används vid kommentering med Isso, för att möjliggöra editering av kommentarer inom 15 minuter efter att de postats, vilket inte kommer att fungera korrekt om kakor stängs av i webbläsaren. Kommentarer som skickas sparas för att publiceras med namn och webbsida, om dessa angetts: en fungerande e-postadress kan, om så önskas, anges för att få möjlighet att kommunicera kring kommentaren i efterhand men publiceras inte. Om JavaScript inaktiveras, kommer varken kommentarer eller visning av formler med MathJax att fungera. Om fel uppstår vid besök, kan uppgifter om besökares IP-adress och tid för felet lagras i interna loggar och användas vid felsökning.