För enkel

I förra inlägget skrev jag en del om uppskattningar av hur många som kommer att drabbas av COVID-19 och tog upp de SIR-modeller som ofta används som utgångspunkt för sådana prognoser. Under veckan som gått har diskussionerna kring detta, föga förvånande, fortsatt. Rocklöv m.fl. (2020) argumenterar t.ex. för att Sverige i dagsläget inte gjort tillräckligt för att begränsa smittans spridning och för också en diskussion utifrån \(\mathcal{R}_0\): det förväntade antalet infektioner en infektiös person ger upphov till i en i övrigt icke-immun befolkning. Det sägs att \(\mathcal{R}_0\) för SARS-CoV-2 uppskattats till 2,5–3 eller högre, och i en not föklaras att [f]örenklat (utan hänsyn till riktade åtgärder för minskad smittspridning) kan insjuknandefrekvesen för ett virus uppskattas till \(1-1/\mathcal{R}_0\), så ett virus med \(\mathcal{R}_0=3\) kan förväntas smitta nästan 70 procent av en befolkning.

I SIR-modellen motsvaras det slutliga antalet, eller frekvensen, insjuknade av \(R_\infty\). När andelen infekterade, \(I\), går mot 0 har alla antingen gått igenom sjukdomen eller är fortsatt mottagliga, så andelen kvarvarande mottagliga, \(S_\infty=1-R_\infty\), vilket då skulle ges av \(1/\mathcal{R}_0\). I förra inlägget visade jag på beräkning av \(S_\infty\) i SIR-modellen med ett diagram ritat utifrån en något krångligare ekvation än så. Varför skall vi göra oss ett sådant omak om det finns ett mycket enklare sätt att göra beräkningen?

Ja, det som ges av \(1/\mathcal{R}_0\) är tröskeln för flockimmunitet: vid en tidpunkt \(t\) när \(S(t)=1/\mathcal{R}_0\) är det effektiva reproduktionstalet, \(\mathcal{R}_t=\mathcal{R}_0 S(t)\), nere på 1, och då kan ett nytt utbrott inte få fotfäste och ett befintligt kommer att tendera att avta. Det betyder dock inte att \(S(t)=S_\infty\), att ett befintligt utbrott försvinner på en gång. Det finns fortfarande en massa infektiösa \(I\)-individer som kommer att sprida infektionen vidare till andra, vilket i SIR-modellen ges av följande ekvation, där \(D\) är den genomsnittliga tid en smittad person är infektiös.

\[\frac{dI}{dt}=\frac{\mathcal{R}_0}{D} I S-\frac{I}{D}\]

Det är lätt att se att om \(\mathcal{R}_0 S<1\) kommer \(I\) att avta. Fig. 1 och fig. 2 exemplifierar utvecklingen av utbrott i SIR-modellen med olika värden för \(\mathcal{R}_0\) och \(D\). Diagrammen kan återskapas med Julia genom att klona bloggförrådet och köra ./sir0314.jl i underkatalogen postdata/2020-03-14-enkel. Jag har utgått från ett initialt antal infekterade \(I_0=10^{-6}\), vilket motsvarar att det kommer in en infekterad i en befolkning på en miljon människor. Med lägre värden tar det längre tid att nå toppen.

I båda exemplen kommer ca 30 procent av befolkningen att smittas när \(S<1/\mathcal{R}_0\).

Ludvigsson (2020) kritiserar hysteri som medierna eldar på, samtidigt som även han säger att avsaknaden av naturlig immunitet innebär att [v]äldigt många kommer att kunna bli smittade. Han gör jämförelser med pandemin 2009 och massvaccinationen som orsakade narkolepsi. Dessutom hänvisar han till att det 2018 dog 2578 personer i Sverige av influensa med lunginflammation. Som påpekas i kommentarsfältet till Rocklöv m.fl. (2020) har han här använt sig av underliggande dödsorsak i kategorin som kallas influensa och lunginflammation (ICD-10 J09–J18) och även inkluderar lunginflammation som inte är relaterad till influensa. De som drabbats av något i kategorin influensa OCH lunginflammation har drabbats av influensa ELLER lunginflammation (inte exklusivt ELLER, då det finns en överlappning). Underliggande dödsorsak specifikt i influensa (ICD-10 J09–J11) stod för 366 kvinnor och 286 män 2018 (Socialstyrelsen 2020). Men överdödlighet i influensa uppskattas normalt heller inte på detta sätt, då det innebär underskattning (Nicoll m.fl. 2012). En annan siffra som används är antalet med labbverifierad influensa som dött inom 30 dagar. Säsongen 2017/18 var det 1012 personer och 2018/19 var det 451 personer (Folkhälsomyndigheten 2019).

Jan Albert gör bedömningen att en avmattning av smittan kommer att börja först när 70–75 procent av svenska befolkningen smittats, vilket han justerar ned till 60 procent (Östman 2020). Om avmattning innebär att kurvan för \(I\) får negativ lutning, skulle det i exemplen ovan ändå kunna bli så att långt över 90 procent smittas. Vad har vi att vänta? Överbelagda sjukhus samtidigt som 25 procent av befolkningen sitter hemma med 39,4? Albert säger dock att de allra flesta kanske inte ens kommer att märka av smittan eller ha en mild förkylning, och att 0,1–1 procent av de smittade kommer att behöva sjukhusvård. En annan forskare, Tomas Bergström, framhåller att smittan kan spridas ut över flera år, därför att säsongsfaktorer kan matta av smittspridningen. Jo, kanske hinner vi också få vaccin under denna tid.

Neher m.fl. (2020), där alltså Jan Albert ingår bland författarna, är en studie, nu tillgänglig som preprint i medRxiv, där forskarna försöker modellera just säsongseffekter på denna pandemi. De utgår från att tidigare kända coronavirus som cirkulerar bland människor har en sådan säsongsbundenhet som liknar influensa, med topp på vintern. Vidare använder de sig av en SEIR-modell, som liknar SIR-modellen, men där det finns en ytterligare grupp, \(E\), (exposed), som inkluderar de individer som smittas men inte själva är smittsamma ännu. De gör förutsägelser om utvecklingen i Hubei som redan verkar ha falsifierats: frågan är i vilken mån det beror på de extrema åtgräder som vidtagits där. Sedan modellerar de en andra våg, som i t.ex. länder i Nordeuropa kan bli högre än den första, beroende på vilka antaganden som görs om \(\mathcal{R}_0\) och vilken månad som är mest gynnsam för smittspridningen. Om \(\mathcal{R}_0\) är lågt, så att utbrottet också bromsas tidigt, och smittan sprids lättast tidigt under vintern, kan den andra vågen få mycket högre topp än den första. De räknar också med modeller där immuniteten avtar och folk återinfekteras i genomsnitt vart tionde år, vilket skulle ge ett mönster liknande säsongsinfluensa. Hur som helst blir det intressant att se utvecklingen i länder på södra halvklotet när vintersäsongen där börjar.

Nu har det också dykt upp hypoteser om att det vi utanför Kina fått höra talas om bara är slutet på utbrottet i Wuhan, där äldre personer blivit svårt sjuka och smittan spritts i sjukvården (Wold och Linde 2020). De yngre skulle ha drabbats tidigare, så det i stort sett uppstått flockimmunitet. Frågan är hur plausibelt detta är, med tanke på följande.

1. Ingen rapporterad smittspridning internationellt förrän i mitten av januari, trots att yngre personer torde vara mer benägna att resa och sprida smittan jämfört med äldre.
2. Inga rapporter, vad jag kunnat se, om ökad sjuklighet i influensaliknande sjukdom bland barn och yngre vuxna i Wuhan under december 2019. Även om sådant inte hade uppmärksammats internationellt med en gång, borde det inte ändå ha framkommit när t.ex. WHO utredde situationen i Wuhan?

Referenser

Webbplatsen drivs av Karl Pettersson och har genererats med Hakyll. Källkod. Kakor används vid kommentering med Isso, för att möjliggöra editering av kommentarer inom 15 minuter efter att de postats, vilket inte kommer att fungera korrekt om kakor stängs av i webbläsaren. Kommentarer som skickas sparas för att publiceras med namn och webbsida, om dessa angetts: en fungerande e-postadress kan, om så önskas, anges för att få möjlighet att kommunicera kring kommentaren i efterhand men publiceras inte. Om JavaScript inaktiveras, kommer varken kommentarer eller visning av formler med MathJax att fungera. Om fel uppstår vid besök, kan uppgifter om besökares IP-adress och tid för felet lagras i interna loggar och användas vid felsökning.