Mottaglig befolkning

Den senaste veckan har utvecklingen av COVID-19 varit toppnyhet varje dag i svenska medier. Just nu hör Sverige, efter Tyskland och i nivå med Belgien, Singapore och Norge, till de länder i världen som har flest konstaterade fall utan att ha några dödsfall. Visst har många av fallen konstaterats de senaste dagarna, men bidragande faktorer till avsaknaden av dödsfall hittills i dessa länder kan även vara omfattande testning, som fångar upp många lindriga fall, hög kvalitet på sjukvården och en hög andel fall som smittats på resa och är relativt unga och friska.

Ingen vet hur många som till slut kommer att drabbas av detta. Kelley (2020) hänvisar till Harvardepidemiologen Marc Lipsitch, som sagt att det är troligt att det nya coronaviruset kommer att smitta 40–70 procent av världens befolkning under detta år och till andra forskare som kommit med liknande förutsägelser på 2/3 och 60–80 procent. Även den svenske forskaren Björn Olsen talar om det värsta scenariot, som han också säger sig tro mest på, där 60–80 procent smittas globalt (Pierrou 2020).

Den förstnämnde Harvardforskaren har utvecklat sina synpunkter i en Twittertråd (Lipsitch 2020). Givet uppskattningar av \(\mathcal{R}_0\) på 2–3 (vilket jag skrev om den 28 januari) skulle enkla matematiska modeller med överförenklade antaganden förutsäga 80–90 procent drabbade. Med mer realistiska antaganden om kontakt mellan människor och kanske årstidsvariationer i smittan kan dock detta justeras ned litet, till 40–70 procent. Att en person smittas innebär inte heller att hen nödvändigtvis får 38,5: Lipsitch betonar att vi inte vet hur stor andel av alla smittade som utvecklar symptom, eller svåra symptom. Senare har han kvalificerat sig ytterligare till 40–70 procent av vuxna i en situation utan effektiv kontroll. På grund av osäkerheten i skattningarna av \(\mathcal{R}_0\) med fler lägre skattningar har han nu i veckan justerat ned det intervall han anser plausibelt till 20–60 procent.

Vad är det för enkla matematiska modeller Lipsitch hänvisar till? Troligen SIR-modellen, där folk tänks kunna befinna sig i ett av tre tillstånd vid en tidpunkt: mottaglig (susceptible), \(S\), infektiös, \(I\), eller återställd (recovered), \(R\). De kan övergå från \(S\) till \(I\) och från \(I\) till \(R\), enligt följande system av differentialekvationer, med befolkningen normaliserad till 1.

\[\frac{dS}{dt}=-\beta I S\] \[\frac{dI}{dt}=\beta I S-\gamma I\] \[\frac{dR}{dt}=\gamma I\]

Här finns två parametrar, som båda är relaterade till den förväntade tiden \(D\) en person är infektiös. \(\beta\) ger övergången från mottaglig till infektiös enligt \(\beta=\mathcal{R}_0/D\), och \(\gamma\) ger övergången från infektiös till återställd enligt \(\gamma=1/D\). Andelen mottagliga vid en tidpunkt, \(S(t)\), kan relateras till \(\mathcal{R}_0\) och andelen återställda, \(R(t)\), enligt.

\[S(t)=\exp[-\mathcal{R}_0(R(t)-R(0))]\]

I en befolkning där nästan alla är mottagliga i början av ett utbrott kommer då \(\mathcal{R}_0\) att vara avgörande för hur stor andel mottagliga som återstår, \(S_\infty\), och hur många som gått igenom sjukdomen, \(R_\infty\), när andelen infektiösa närmar sig 0 och epidemin tar slut. \(D\) är avgörande för hur snabbt detta går: ett högre tal, vilket ger ett lägre värde på \(\gamma\), gör att epidemin varar längre. Det går att få \(S_\infty\) genom att hitta \(y\)-skärningarna för \(y=\mathcal{R}_0(S_\infty-1)-\log(S_\infty)\): den \(y\)-skärning som är mindre än 1 motsvarar andelen som förblir icke infekterad även om ett utbrott kommer igång (Jones 2019). Fig. 1 visar \(S_\infty\) för olika \(\mathcal{R}_0\) i intervallen 2–3, som alltså uppskattats för COVID-19, och 1,3–1,8 som uppskattats för sänsongsinfluensa och olika influensapandemier (Biggerstaff m.fl. 2014). Diagrammet kan återskapas med Julia genom att klona bloggförrådet och köra ./sinfplot.jl i underkatalogen postdata/2020-03-07-mottag.

\(\mathcal{R}_0\)-värden på 2–3 ger alltså \(S_\infty\) på 5–20 procent, motsvarande \(R_\infty\) på 80–95 procent, vilket ungefär stämmer med det intervall Lipsitch anger för de enkla modellerna. Både Lipsitch och t.ex. Björn Olsen verkar vara eniga om att resultat från dessa modeller inte kan köpas rakt av: det behövs en viss justering nedåt. Frågan är om beräkningarna skall tas med en ännu större nya salt. Genom att använda motsvarande beräkningar på SARS, med uppskattningar av \(\mathcal{R}_0\) på 2–4 (WHO 2003), hade vi 2003 kunnat förutsäga att över 80 procent av jordens befolkning skulle smittas av detta. Nu har COVID-19 visat sig mer livskraftigt än SARS, då vi har över 100 000 konstaterade fall globalt i stället för 8000. Samtidigt har antalet nya fall av COVID-19 i Kina varit på nedåtgående i veckor: de drygt 80 000 fallen där inkluderar knappt 0,5 procent av befolkningen i Wuhan och drygt 0,1 procent i hela Hubei.¹ Förvisso har det skett med hjälp av drakoniska åtgärder som kanske inte vore möjliga i många andra länder. Men även i de andra länder som haft mest spridning hittills, som Italien och Sydkorea, verkar det åtminstone som den exponentiella ökningen av antalet fall bromsats den senaste veckan. När det gäller Sydkorea finns uppskattningar att det effektiva \(\mathcal{R}\)-värdet sjunkit så att det tangerar 1 (CMMID nCov working group 2020).

Som jag skrev om i 28 januari-inlägget kan det vara så att COVID-19 har egenskaper som försvårar spridning i stor skala, som inte fångats upp av tidiga \(\mathcal{R}_0\)-uppskattningar.² Smittan kan spridas snabbt inom t.ex. en vårdinrättning eller en familj, men den verkar ha svårt att få fortfäste i nya grupper av tidigare friska människor i samhället: vi ser spridda fall bland barn, men det finns inga rapporter om utbrott i förskolor och skolor, som brukar vara fallet när influensan härjar. Det kan vara värt att fortsätta hålla i minnet att inga luftvägsvirus utom influensa A, och då ett begränsat antal subtyper av denna, under den tid vi kan överblicka visat sig kapabla att orsaka pandemier där flera procent av jordens befolkning smittas av ett nytt virus under loppet av några månader.

Referenser

---

1. Personen som ansvarar för underhållet av många av de paket för Arch Linux, som jag använder för att framställa denna blogg, bl.a. Pandoc, sitter i just Wuhan och har blivit hyllad för att han håller det hela i rullning mitt i utbrottet (Reddit 2020).↩︎

2. I den mån \(\mathcal{R}_0\)-uppsakttningar i studier över historiska influensor, som sammanfattas av Biggerstaff m.fl. (2014), tagits fram retrospektivt utifrån uppskattningar av antalet drabbade är de av tveksam relevans när det gäller att bedöma värdet av \(\mathcal{R}_0\)-uppskattningar och SIR-modeller när det gäller att förutsäga omfattningen av utbrott.↩︎

Webbplatsen drivs av Karl Pettersson och har genererats med Hakyll. Källkod. Kakor används vid kommentering med Isso, för att möjliggöra editering av kommentarer inom 15 minuter efter att de postats, vilket inte kommer att fungera korrekt om kakor stängs av i webbläsaren. Kommentarer som skickas sparas för att publiceras med namn och webbsida, om dessa angetts: en fungerande e-postadress kan, om så önskas, anges för att få möjlighet att kommunicera kring kommentaren i efterhand men publiceras inte. Om JavaScript inaktiveras, kommer varken kommentarer eller visning av formler med MathJax att fungera. Om fel uppstår vid besök, kan uppgifter om besökares IP-adress och tid för felet lagras i interna loggar och användas vid felsökning.