Folk med kontakter

Postad 2020-10-25 av Karl Pettersson. Taggar:

De rapporterade fallen av COVID-19 har nu varit på uppåtgående i Sverige och andra europeiska länder i åtskilliga veckor. Det är oklart hur den fortsatta utvecklingen blir när det gäller antal fall, belastning på vården och dödlighet. När fallen ökade snabbt tidigt i våras gjordes det projektioner att majoriteten av olika länders befolkningar skulle smittas, ett resultat som kunde uppnås genom att stoppa in uppskattningar av \(\mathcal{R}_0\) i enkla S(E)IR-modeller, där individer går mellan facken S (mottaglig), E (smittad), I (infektiös) och R (återställd), som jag skrev om den 7 mars och 14 mars.

Den fortsatta utvecklingen har inte varit så enkel. Förmodligen har spridningen påverkats av både åtgärder för att begränsa den och säsongseffekter, men det har också blivit ökat fokus på att S(E)IR-modeller, tillsammans med antagandet om en initialt nästan fullständigt mottaglig befolkning, inte är speciellt bra på att beskriva spridningen av SARS-CoV-2. Det har blivit mycket diskussion om heterogenitet både när det gäller mottaglighet och smittsamhet, vilket gör utbrotten mer svårtförutsägbara och även kan påverka deras omfattning, som jag skrev om den 17 maj och 26 maj. Det har talats om spridningsmåttet \(k\) som den förbisedda variabeln, vid sidan av \(\mathcal{R}_0\), som utgör nyckeln till förståelse av pandemin (Tufekci 2020).

Samtidigt är det inte alltid klart vad implikationerna av sådan heterogenitet är. De som tidigt förespråkade hårda åtgärder hävdade gärna att viruset både tenderar att smitta en stor andel snabbt och att dödligheten bland smittade, IFR, är relativt hög. Sedan har heterogenitet använts för att argumentera både för att det är möjligt att uppnå flockimmunitet, som åtminstone för en period skyddar mot nya utbrott, med färre infekterade än vad som tidigare hävdats och för att vi i stället skall satsa på att trycka ned smittan genom kontroll av superspridarhändelser.

Här är det viktigt att först skilja mellan olika slags heterogenitet och sedan diskutera hur dessa kan vara korrelerade med varandra. Miller (2012) beskriver den slutliga andelen infekterade i ett utbrott för olika scenarion med heterogenitet i befolkningen. I en SIR-modell för det enkla, homogena scenariot ges denna andel, \(\pi\), som motsvarar \(\mathrm{R}(\infty)\) i en SIR-modell, av \(\pi=1-\exp(-\mathcal{R}_0\pi)\). Om exempelvis \(\mathcal{R}_0=2{,}5\), skulle alltså utbrottet närma sig ca 89 procent infekterade. I scenariot med superspridare, där smittspridningen är koncentrerad till en mindre andel infekterade individer, men där dessa varken är mer eller mindre mottagliga än andra, påverkas inte \(\pi\) för ett givet \(\mathcal{R}_0\): alla individer löper samma risk att infekteras, och det förväntade antalet överföringar per individ ges av \(\mathcal{R}_0\). Det är en annan sak att utbrotten kan bli mer varierande i storlek i modeller som inte är deterministiska, och att de kan bli lättare att kontrollera genom att rikta in sig på superspridarhändelser (Althouse m.fl. 2020).

Däremot påverkas epidemins storlek om mottagligheten varierar i befolkningen, så att en individ är mottaglig till graden \(x\) med sannolikhet \(p(x)\) och \(\pi(x)\) är andelen av alla \(x\)-individer som smittas. Generellt gäller då att andelen smittade i hela befolkningen, \(\bar\pi\), ges av \(\bar\pi=\int_0^\infty\pi(x)p(x)\mathrm{d}x\), eller, när andelen initialt infekterade närmar sig 0, \(\bar\pi=1-\int_0^\infty\exp(-x\bar\pi)p(x)\mathrm{d}x\) Om en viss andel är fullt mottaglig och övriga inte mottagliga alls kommer \(\pi\) för den delen av befolkningen att motsvara \(\pi\) i den enkla modellen för \(\mathcal{R}_0\) skalat till denna andel, eller \(\mathcal{R}\) i början av utbrottet, t.ex. ca 45 procent av hela befolkningen för en mottaglig andel på 50 procent och \(\mathcal{R}\) på 2,5, eller \(\mathcal{R}_0\) på 5. Miller beskriver sedan fler scenarion, bl.a. där mottaglighet korrelerar med smittsamhet, vilket skulle kunna exemplifieras att personer benägna att orsaka superspridning även kan vara mera benägna att smittas. Kanske har de svagare immunförsvar, så de både smittas lättare och utsöndrar mer virus om de blir smittande, eller har ett socialt beteende som påverkar dessa faktorer. Å andra sidan kan det vara så att mer mottagliga individer blir mer sjuka och är mindre benägna att sprida smittan vidare, säger Miller.

Montalbán, Corder och Gomes (2020) beskriver SEIR-modeller för några specialfall av detta, exempelvis varierande mottaglighet, där individer har mottaglighet på nivå \(x\), som beskrevs ovan, och varierande kontakt, där \(x\) både ger individers mottaglighet och deras benägenhet att smitta andra. Specifikt härleder de tröskeln för flockimmunitet, \(\mathrm{HIT}\), den andel infekterade där smittan avtar och nya utbrott förhindras, givet att \(x\) följer en gammafördelning med en formparameter \(k\), där lägre värden innebär större heterogenitet. Med varierande mottaglighet gäller \(\mathrm{HIT}=1-\mathcal{R}_0^{-1/(1+1/k)}\) och med varierande kontakt \(\mathrm{HIT}=1-\mathcal{R}_0^{-1/(1+2/k)}\). Fig. 1 nedan visar utvecklingen av en epidemi med \(\mathcal{R}_0=2{,}5\) och \(k=0{,}25\) i SEIR-modellen med varierande mottaglighet och fig. 2 visar utplaningen av epidemier (andelen immuna, R, efter 730 dagar) med \(\mathcal{R}_0=2{,}5\) och varierande \(k\), för dels varierande mottaglighet, dels varierande kontakt. Övriga parametrar är \(\delta=1/5\) (övergången från smittad (E) till infektiös (I)), \(\gamma=1/10\) (övergången från infektiös (I) till immun (R)) och \(\epsilon=10^{-5}\) (initial andel infekterade). Diagrammen kan återskapas med Julia genom att klona bloggförrådet och köra ./seir1025.jl i underkatalogen postdata/2020-10-25-kontakt.

SEIR med varierande mottaglighet med \mathcal{R}_0=2{,}5 och k=0{,}25.
Figur 1: SEIR med varierande mottaglighet med ℛ0 = 2, 5 och k = 0, 25.
\mathrm{R}(730) i SEIR med varierande mottaglighet och kontakt och \mathcal{R}_0=2{,}5 för olika k.
Figur 2: R(730) i SEIR med varierande mottaglighet och kontakt och ℛ0 = 2, 5 för olika k.

Det är tydligt att modellerna med varierande kontakt ger lägre andel infekterade för samma \(\mathcal{R}_0\) och \(k\) än de med enbart varierande mottaglighet och att ökande \(k\) innebär att de konvergerar mot den enkla, homogena SEIR-modellen. Debatten kring olika strategier för att hantera COVID-19 skulle nog förbättras om de som talade om heterogenitet och \(k\)-värden blev bättre på att specificera om heterogeniteten gäller mottaglighet eller spridning, och, om den gäller båda, hur de korrelerar med varandra.

Referenser

Althouse, Benjamin M., Edward A. Wenger, Joel C Miller, Samuel V. Scarpino, Antoine Allard, Laurent Hébert-Dufresne och Hao Hu. 2020. ”Stochasticity and heterogeneity in the transmissiondynamics of SARS-CoV-2”. https://covid.idmod.org/data/Stochasticity_heterogeneity_transmission_dynamics_SARS-CoV-2.pdf.
Miller, Joel C. 2012. ”A Note on the Derivation of Epidemic Final Sizes”. Bulletin of Mathematical Biology 74 (9): 2125–2141. doi:10.1007/s11538-012-9749-6.
Montalbán, Antonio, Rodrigo M. Corder och M. Gabriela M. Gomes. 2020. ”A SEIR model with variable susceptibility or exposure to infection”. arXiv. https://arxiv.org/abs/2008.00098.
Tufekci, Zeynep. 2020. ”This Overlooked Variable Is the Key to the Pandemic: It’s not R.” Atlantic (30 september). https://www.theatlantic.com/health/archive/2020/09/k-overlooked-variable-driving-pandemic/616548/.